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罗增儒教授在第五届新青年数学教师发展(西部)论坛闭幕式上的发言——带着问题继续学:压轴题的认识与求解
 
 

老师们:下午好。

去年(2017820)我在第四届全国新青年数学教师发展(西部)论坛暨青年教师中考数学压轴题讲题比赛会议上的发言说过,我是带着问题来学习的,来学什么呢?我的专业期待有:

关于青年数学教师发展。如新青年教师发展情况如何,教师为什么要发展等。

关于中考数学。如什么是中考,中考的基本问题是什么,应不应该建设《数学中考学》,如何建设《数学中考学》等。

关于中考数学压轴题。如什么是中考数学压轴题,怎样求解中考数学压轴题,怎样编拟中考数学压轴题等。

关于讲题。如讲题讲什么,讲题怎么讲;什么是题,怎样解题,数学解题的基本过程是什么样的,成功解题的基本功有哪些要素,解题失误的表现和性质有哪些方面,怎样教会学生解题等。

……

今年,我是带着问题继续学,谈去年尚未谈到或尚未谈透的问题,重点是压轴题的认识与求解。首先,还是从会场上的观察与体会说起。

1  我所看到的会场保持了去年的基本特色

    去年,大家用行动告诉了我4个方面,正面的有增无减、不足的有减无增。今年,我看到的更多一些。

1-1  我看到了新青年数学教师的发展风貌

  (1)学术热情、精湛水平。会场上来自26个省市(去年21)100多所学校的300多位数学同行不惧酷暑、齐聚在陕西省渭南市这块风水宝地,其实也是思维敏捷的解题高手、龙腾虎跃在数学解题的专业旗帜周围,其民间活动的性质决定了参赛本身就是一种职业自觉与自觉热情,决定了比赛活动也是一种自由学术与学术担当。

并且,这个解题研究群体,来自教学第一线,人人有良好的解题胃口,处处有浓郁的学术氛围,大家讲起题来,具有读懂学生内行话优势,具有通达课堂接地气强势。可以说,这是解题精强团队不事张扬的报到,可以说,这是解题集体智慧不无潇洒的亮相,其水平不低于任何一本教辅书。

这些,都有增无减。

(2)内容充实、形式创新

两天的紧凑安排不仅有12高品位、新构思、中考切磋、学术争鸣的比赛(去年是10个队),而且穿插有专家寄语、青年沙龙、名师讲题等多项内容,无论是上场的选手还是台下的听众,大家都收获满满,并可以立即将诸多收获用于课堂。我还要提起,广交四海朋友、认识专家主编等不仅也是收获,而且还是长久耐用的更大收获(潜力股?)

作为发展风貌的又一个表现,我还要说到会议本身,新青年数学教师工作室刘祖希在开幕式上说了:新青年组织上由6人发展到70人,讲题比赛有两个背景:

背景一:新青年数学教师工作室在2016年底制订了第二个十年发展周期的四向发展方针,即:

向内固本,提升工作室的研究力;

向外辐射,输出工作室的教研力;

向上发展,寻求高校的学术领导力;

向下沉淀,汲取一线的教学实践力。

新青年数学教师工作室在学术上,紧密依靠高校的研究与中小学实践,高校与中小学齐发力;新青年数学教师工作室在运营上,扎实推进教研基地与工作室协作体,基地与协作体双见效。一线教学的鲜活经验,是我们孜孜以求的力量。

背景二:需要把握正确导向,培养青年教师中考数学压轴题研究与讲题能力。

这次会议保留了去年的诸多特点,如通知是靠朋友圈刷出来的;会场是有微信、网络、电视直播的;比赛是不设评委的,由老师讲、老师评、内行看内行的;会议还有很多联盟参加等等。我想用三句话来画龙活动新形式,发展新途径,合作新机制;再用两个字来点睛创新

今年的会议增加了读题的环节,与一湿二干三步骤檫黑板同步进行。

这些,也都有增无减。

1-2  我看到了讲题的深入思路和精彩争鸣

我去年期望:

会议是智慧的比赛,而不只是知识的比赛;

会议是创新的比赛,而不只是记忆的比赛;

会议是实力基本功的展示,而不是豪华多媒体的表演。

(诗词大会是知识和记忆的比赛,还不是智慧和创新的比赛)

这三点,去年做到了,今年做得更好。

(1)所有选手都表现出强大的实力和过硬的基本功。12个队的讲题老师都富含数学素养,特别突出的是逻辑推理,直观想象,数学运算;他们深厚的专业功底,饱满的教学热情,可人的教学风度,整齐的现场板书等都给我留下了深刻的印象。我还记得去年叫两位老师(刘蕊蕊、胡昊康)徒手画圆——用得上两个字:漂亮!今年的画图,同样漂亮。

首都师大方运加教授开幕式上寄语:要做脚踏实地的数学人,作为中学教师就是要用好粉笔、三角板,黑板为媒,与学生进行最直接的交流。这虽然不是什么大事业,但却一定是你的学生最需要你做的。把这个事做好最重要,这就是我的寄语,寄语你,也寄语我。

我十分赞成练好基本功(我还要求我的研究生每周给我交一篇钢笔字、一篇毛笔字),我还想说,真正过硬的基本功不是提前画好才去上课的,大家想一想,好几个人、超过十分钟的画图真实的课堂是否可能?(老师画图不说话、学生等着不说话,十来分钟挺长的)我见过这样的数学同行,可以徒手一笔一个圆,两笔两个相切的圆,三笔三个两两相切的圆,四笔四个两两相切的圆,是一面讲一面画的。

(2)所有题目都进行了广泛的探讨和深入的挖掘。几何题有几何味、代数题有代数味、坐标系中的几何代数综合题也有解析几何学科味。多数队都是眼花缭乱、异彩纷呈的一题多解,努力接近问题的深层结构,当中不乏新颖的构思和本质的揭示。比如西安铁一中队(天津24)对KH极大极小值的揭示,又如大连队对x取值范围转换认知框架转移的思考,再如辽宁山丽娜名师工作室对B,C,D有且只有叙述的清晰而易懂,都用得上两个字:深刻!其他队亦都是在努力接近问题的深层结构。

并且,我一对比会议手册与现场就看到,12支队伍的现场表现都大度超过会议手册的预设水平(进步!),一些会议手册没有达到的本质揭示,选手达到了;一些会议手册没讲清或讲不清的问题,选手讲清了。

(3)会场的交流同样精彩。第一节课的讨论没有客套的开头,直奔会议的实质性主题(涉及学科思想指导解题、检验与分类讨论、中考命题等),给人耳目一新的震撼;接下来,主持人于永库与赵辉的对话以及点评,都给人留下深刻的印象。至于陕西题,有垂足三角形周长最小的背景,讲课教师在15:44提问现场老师,很新颖;而主持人于永库老师的三个提问更加深刻。

今天上午第一节的发言很精彩,最后上海队的师生互动和对答形式更新颖而精彩。(我问过纠错情节是有意的还是真实的)

这些研讨都是真诚的、友好的、切合主题和非常有益的,应该成为我们这次会议的一个亮点。

1-3  我看到了以解析几何为主体的压轴题内容

(1)统计。据统计,12道题中,不涉及坐标系的,也就三道纯几何体(有的几何题也放到坐标系中),多数都是坐标系中以抛物线为背景的、结合几何图形的综合题(只有一道以反比例函数为载体,结合三角形相似),几何图形广泛涉相似或全等三角形、四边形、圆、面积等。这反映了一个事实:中考压轴题虽然有综合几何、变换几何、坐标几何,但更喜欢用解析几何。

(2)“解析几何的学科思想。解析几何的基本思想是:首先创建坐标法,用平面上的一点到两坐标轴的坐标来确定点的位置,构成有序实数对的对应;接着用运动的观点,把曲线看成点的运动轨迹,建立起曲线与方程的对应。从而,几何问题不仅可以转变为代数形式,而且可以通过代数运算来发现几何性质,证明几何性质,这就改变了自古希腊以来代数与几何的千年分家,统一了起来,把几何曲线与代数方程结合了起来。这种对应关系的建立,不仅创立了解析几何学,而且标志着变数进入数学, 为函数概念和微积分的创立奠定了基础,使数学在思想方法上发生伟大的转折——由常量数学进入变量数学。

几何问题转化为代数问题后,代数演算有程序性、机械化和普适性的好处,求解时可以运用代数的全部方法和所有技巧,这就是解析几何的优点。但有时运算可能是复杂繁难的,教师一方面要作出硬运算的示范,另一方面,教师可以选择一些典型的练习题,加强数学思想方法的教学和具体解题技巧的指导,通过回归定义、活用几何结论、数形结合、巧设参数、合理建立坐标系、设而不求、整体代换等,简化计算过程、化解运算难点。(暂不展开)

1-4  我看到了数学课堂上的幽默、生动和文化

(1)我看到了学会场上有掌声和笑声可能很多人都会认同数学课堂难得有掌声和笑声,但是我们的会场有了。如同大家所看到的,讲题研讨有激越煽情型的、也有大气沉稳型的,不同的教学风格都由于教学呈现形式的生动和数学专业揭示的到位而引起共鸣。(而不是低级趣味的嘻嘻哈哈)

(2)我看到了数学会场上的文化。

2017版高中数学课程标准指出,数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点,它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义,以及与数学相关的人文活动。将数学文化融入教学,有利于激发学生的学习兴趣,有利于学生进一步理解数学,有利于开拓学生视野,提升数学学科核心素养。基于数学核心素养的课堂教学应该努力渗透数学史、数学家,数学精神和数学应用等数学文化要素以及更广泛的人文元素,感悟数学价值,提升科学精神,培养应用意识,生成人文素养。高考试题主要从数学史、数学精神、数学应用三个方面渗透数学文化,中考也会向这个方向靠拢。

会场上一般性的文化因素,大家可以看到许多选手富于哲理的开场白(如自我调侃皮肤黑心不黑”),经验之谈的口诀,和一些我来不及记下的对联,这些都比去年多了。(去年:对联华山论剑、英雄所见曾相似,东府讲题、才俊妙思今不同,它描述了会场的精彩情景;还可以看双垂形、三垂形、相似形,形形相应;面积比、底高比、三角比、比比皆是,它又演绎了思路的精要核心。还有老师贡献了作辅助线的经验口诀,也如诗如歌,朗朗上口。)今年:

口诀:

作角等,画圆形,定位Q点要先行;

特殊点,要抓牢,垂直处理求坐标;

点对称,构图形,一题多解现原形;

压轴题,悟本原,多解归一求自然。

对联1

人生几何,渭高园内煮青梅;

武林代数,华山脚下论英雄。

对联2

点线面体,交分离合,主动才觉趣味多;

沪湘秦辽,思辨往来,交流方知课堂嗨。

热爱数学的人找到自己队伍的感觉——听来很温暖,

●16:50分选手还为大家唱歌。

讲压轴题如同射线,只有起点。

画准图靠分析,找出路抓特征,求突破勤转化。

如果说数学是冰冷的,那么数学教师可以给它插上情感的翅膀,使它成为冰冷的美丽;如果说数学是火热的,那么数学教师可以给它融入理性的合金,使它成为火热的思考。数学教师在数学的面前并非只有传承,数学教学本来就是一种充满创造性的学术活动。

1-5  我也看到了会场上有批判性不足等方面的情况

(1)很少听到关于题目的改进意见。不是不应该重在正面理解,而是不能没有批判性的声音,这说明我们对解题反思思什么、怎么思还需要探讨和强调。比如,

有的题目承担中考压轴的使命压住了没有?太浅压不住,太深又形同虚设、也没压住;(我问过一些老师去年的中考题,有的题目难度系数只有0.1或不足0.1,形同虚设)

有的题目有两点距离公式的背景,会议手册也用到了两点距离公式的背景,为什么不可以商榷商榷?

●“如图会不会有歧义?(确定的还是示意的?)

 ……       

(2)有的一题多解停留在罗列上,目的性不明。

对于解题获得答案来说,本来有一个解法就够了,为什么还要一题多解呢?我们说,一题多解有两个潜在的功能:其一,多角度审视有助于接近问题的深层结构;其二,一个问题沟通不同的知识,有助于形成优化的认知结构。但是,潜在功能需要我们去发挥出作用,简单地并列多种解法有时反而会加重学生的负担(可能连一种方法都没掌握好),惟有沟通不同解法的知识联系,我们才有更多机会洞察问题的深层结构,形成优化的认知结构。(一题多解有利于发散思维的培养,能证实不?)

(3)难点的确定与突破有提高、还可努力。

应该说,当大家分析每一道题目的思路时,都是针对解题难点来讲解的,但是没有明确指出:该题到底一共有几个难点,分别在什么地方,各用什么方法来突破,方法的实质是什么。有的讲解一步一步很条理、很流畅,但主要是方法和技巧的完成,方向的思路分析和思想的本质提炼还有展开的空间(平铺直叙)。我对北京队的总结步骤表示赞成,更对上海队的总结过程和内容高度赞赏。(思路揭示可先可后,但不能没有)

(4)若干语言还有商榷的余地。比如

对于二次函数在闭区间上的最值问题,必须数形结合(充分还是必要?)

要找半径必先找圆心。

用三角形两边之和()()于第三边求最值,没有注意到能不能取等号。(可否改为两点之间直线距离最短?)

分段定义的函数是一个函数还是两个函数,对应的图像是一个图像还是两个图像?

……

2  中考数学压轴题认识

中考数学压轴题是中考试题的创新重点和难点高潮,思维深度、广度最大的内容,综合性、灵活性最强的设计,一定是放在压轴题上。虽然考生得分的主要来源是中低档试题(非压轴题,很多压轴题的得分率只有0.1左右),但压轴题的瓶颈突破是中考高分突破乃至满分实现的核心、关键和必由之路。(上海队的口号:挑战压轴题,挑战满分)

中考数学压轴题首先是数学题,然后才是数学试题和中考题。因此,研究中考压轴题也应该首先明确数学题与数学试题的相关概念,洞察中考数学压轴题的特征,当然,讨论数学题不能回避解法。由于什么是数学题去年已经谈过了,所以、今年就从数学试题说起。

2-1 数学试题与数学解题的相关概念

将介绍数学试题与中考数学题、数学解题与中考数学解题、以及中考数学压轴题等概念的个人看法,指出中考解题与平时解题的区别,分析中考解题的特殊性。

(1)数学试题。为了实现诊断、预测、甄别、选拔等特定目的,而系统化、标准化的数学问题组织形式,称为数学试题。如单元测验题、期末或升学考试题、各级各类数学竞赛题等。数学试题与数学试卷有区别,数学试卷是数学试题的一种呈现方式,主要指印有试题的纸张。

(2)中考数学题。用于高中招收新生入学考试的数学试题称为中考数学题。详细说,中考数学题是高中为了诊断、预测、甄别考生数学思维水平而组织起来的一套具有选拔功能的数学问题。中考试卷是中考试题的一种呈现方式,考试之前它是绝密文件

(3)数学解题。解题就是寻找问题的答案,亦即寻找题目条件与题目结论之间的数学联系,它表现为沟通条件与结论的一系列演算或推理。如果说标准的数学题有条件、结论两个基本要素的话,那么数学解题就有条件、结论、解、解题依据共四个要素。

(4)中考数学解题。中考数学解题就是将课堂上获得的数学知识、数学方法和数学经验用于解决高中招生考试的数学试题。这是一个从记忆模仿到探索发现的过程,关键在探索发现,核心是通过演算或推理得出一个符合数学事实的结论。一个基本的建议是:化归为课堂上已经解决的问题(包括往年的中考题及其变形)

(5)中考解题与平时解题的区别。虽然平时解题与中考解题的主体、内容和形式都有相同之处,但两者的物理环境和心理环境、解题性质与解题要求等都有不同:

①解题环境不同:平时解题是在宽松和开放的环境下进行的,主要体现知识与能力,而中考解题是在考场封闭、时间限定和竞争选拔的条件下进行的;虽然平时解题也存在速度和心理因素,但与中考解题的速度要求和心理压力都不可同日而语,中考解题既是数学知识、数学能力的较量又是解题速度和心理素质的较量。

②解题性质不同:平时解题中,无论是课堂练习、课后作业,还是测验考试等都是基础教育的一种认识活动(育人),是对知识(概念、定理等)的学习或继续学习,是对方法的熟练或继续熟练,是在发生数学和掌握数学;而中考数学解题则是高中招生的一种评估活动(选人),是通过解题水平来看数学思维水平、数学素养程度的考核,它以解题能力的高低为评估标准,以一次性笔试为基本方式。

③解题要求不同:作为认识活动的平时解题不排除全做全对,难度系数通常不低于0.65,还有0.7以上的;而中考则要拉开考生距离,提高了要求,全做全对的人是极少数,其难度系数通常在0.6左右。

   (6)中考解题的特殊性。一道数学题选作中考题后,就成了诊断、预测、甄别、选拔的一把尺子或一杆秤(量表),已具有不同于平时作业题的诸多特性,如

①能力的代表性:如上所说,中考解题具有评估性质而非学习本身(是选人而非育人),试卷得分已成为一个人数学水平的代表。

②分数的选拔性;平时,教师对学生数学水平的评价除了课后作业、测验考试等解题方式外,还可以有课堂提问、小组交流、课后互动等多个渠道全面了解,但中考做不到。中考用一套试卷的分数代表一个人的能力水平会有局限性,分数的公平性也可能会损害人才的创造性,问题是目前还没有更好的替代办法,中考不是最坏的选择。既然是考试,就得由成绩来说话,分数成了选拔的一个刚性依据。

③时间的限定性;中考是120分钟对应150分左右(各地有区别),解题有速度要求,需要迅速解决从何处下手、向何方前进这两个基本问题。

④评分的阶段性。为了拉开考生的距离,中考阅卷实行分段评分的方式,既分段给分、又分段扣分,会做的题目存在潜在丢分隐性失分,而不会做的题目又可以得分不少。

(7)中考数学压轴题

压轴一词来源于戏剧,指一场折子戏演出的倒数第二个剧目,因为最末一个剧目称为大轴,而倒数第二个剧目紧压大轴,故得名压轴戏但这个词移植到考试时,无论是内容还是位置都稍有变化。中考压轴题主要指位置在中考试卷末尾的最后二三道解答题(代数题,几何题,代数几何综合题,通常涉及多个、甚至十多个知识点,会有各章之间的知识交叉,突出数学思想方法的理解与简单应用),这些题目分值高、难度大、知识面广,具有综合性、探究性和灵活性,形式是解答题,题量约占20%

1-2  中考数学压轴题的基本特征

    将指出中考数学压轴题的六个特征。

(1)位置特征。位于中考试卷的末尾。但是,由于试题难度系数的复杂性,命题人的主观意图与考生的客观实际难免会出现脱节,使得分率最低的题目位置提前,这种情况并不多见,偶有发生

(2)难度特征。全卷通常控制在通过率(得分率)0.600.70(平均0.6578)左右;低档题得分率控制在0.7以上,中档题得分率控制在0.40.7之间,高档题得分率控制在0.20.4之间;低、中、高的比例一般为532,或442,或631。也就是说,低、中档题是试卷的主体(8090%),综合性、灵活性较强的拉距离难题3道左右。

在拼卷安排上通常有从易到难的三个小高潮,即三类题型是从易到难的,而每一类题型内部又是从易到难的,所以,前一类题型的难题有可能比后一类题型的易题难。

压轴题难度系数不超过0.4。其中最后一道压轴解答题的难度系数多在0.20.3附近,当然,也会出现0.2以下的低效题,有时是因为前面的题目较难,增大了压轴题的位置难度;有时是因为压轴题本身的绝对难度较大,超越多数考生的认知负荷。压轴题难度过大、考生普遍不得分,就形同虚设了。而压轴题难度系数大于0.4,则成为中档题,俗称压不住没压住

试题难度是被试对试题的适应程度。困难在于,它不是内容难度在被试身上的再现,里面有很多的随机因素和模糊因素。教师可以用3个措施来预测考生对试题的适应程度。

①试做的感性体验。教师2个小时内试做一遍,可以获得试题难度和试卷长度的感性认识。

②有参照的相对难度预测。

参照前几年类似题的实测难度,作出今年试题的难度预测。(考虑学生水平的变化)

考虑类似题的位置变化带来的难度变化。

③有分析的绝对难度预测。

知识点的个数。

运算步骤数。

推理转折点个数。

情景的新鲜度。

陷阱个数。

赋分方式。

对于串联式的解答题还要考虑前一问对后一问的影响。

会场上提到题目难不难我想应该从统计难度上去回答,0.20.4(老师做一道两个小时)

(3)功能特征。压轴题具有拉开考生距离的设计意图和基本功能。而拉开考生距离的具体措施是:突出创新能力的考查,主要是体现探索性、开放性、综合性、应用性和原创性。不要只是高中知识的简单下放。

(4)内容特征。代数综合题,几何综合题,代数几何混合综合题。

(5)创新特征。为了落实中考压轴题的选拔功能,压轴题型设计创新试题。数学创新试题是指在试题背景、试题形式、试题内容、解答方法等方面具有一定的新颖性与独特性的数学试题,其作用既诊断考生的数学创新意识、又提供培养创新能力的教学导向。主要形式有:开放探索题,信息迁移题,情景应用题,过程操作题。

(6)背景特征数学中考压轴题追求试题背景的新颖性与独特性,常常是在课本知识的基础上往四大背景上集中:高中数学背景,现实生活背景,历史名题背景,经典试题(包括往年的竞赛题或中考题)背景。

(7)学生解题水平。

数学解题的四个阶段:模仿、变式、领悟、理解。

数学解题的模仿阶段。能模仿着教师或教科书的示范去解决一些识记性的问题,会套解题公式,但稍一变化就不会了;解题常常只是为了完成任务,解题的目的就是获得答案,题目解完之后也说不清自己是怎么想的,用了哪些知识、用了哪些方法。很多学生课堂上的能够听懂,但课后作业难以独立完成就是停留在这个简单模仿的水平上。

数学解题的变式阶段:经过数量足够的模仿之后,题型积累有所增加,可以解决一些形式稍有变化的习题,获得答案之后也能说说自己是怎么想的,用了哪些知识、用了哪些方法,有的题目还能进行一题多解、并升起通过解题来提高数学能力的朦胧意识。优秀学生和广大数学教师能达到这个水平。

数学解题的领悟阶段:经过变式练习,题型积累的质量有所提升,对解题思路的探求能够开始有意识的设计,解题不仅要获得答案,不仅能说出自己的思路,用了哪些知识、哪些方法,而且能领悟当中的数学思想,领悟问题的深层结构,能一解多题,并作出一些简单推广,但是,这种领悟带有自发的性质,常常是只可意会,不可言传。个别学生和优秀数学教师能够达到这个水平。

(4)数学解题的理解阶段:在领悟解题的基础上,能进一步做到数学问题的迅速识别,解题思路的主动设计、知识资源的理性配置、解题方法的灵活运用、解题策略的适宜调控,解题过程的自觉反思,努力通过解题去获得数学的理解,使认识进入深层结构。能从数学操作和正确答案中看到数学知识和数学方法的应用,能从数学知识和数学方法中看到数学思想和思维策略的指导,能从数学思想和思维策略中提炼(DNA)数学核心素养,获得态度、情感的熏陶,形成正确的价值观念、必备品格和关键能力

 怎样解题的基本过程

我们把寻找习题解答的活动叫做解题过程。解题过程不仅仅是书写表达,它应该包括从拿到题目到完全解出的所有环节或每一步骤,通过回顾自己的实际操作(看题、想题、答题、回题)可以看到,解题通常有四个基本的阶段:理解题意、思路探求、书写表达、回顾反思。科学把握好这四个阶段是一种良好的解题习惯。应该说,大家对这个感性的自然过程并不陌生,问题在于能不能上升到理性的学术高度。比如:

大家都知道解题的首要前提是审题,但审题审什么、怎么审能够给学生说清楚、讲明白、做到位吗?

大家都知道解题的思维核心是思路探求,但探求探什么、怎么探能够给学生说清楚、讲明白、做到位吗?

大家都知道解题的最终呈现是书写,但书写写什么、怎么写能够给学生说清楚、讲明白、做到位吗?

大家都知道学会解题的好途径是反思,但反思思什么、怎么思能够给学生说清楚、讲明白、做到位吗?

3-1  理解题意

(1)理解题意的基本含义

理解题意也叫做审题,主要是弄清题目已经告诉了你什么,又需要你去做什么,从题目本身获取怎样解这道题的逻辑起点、推理目标、及沟通起点与目标之间联系的更多信息。

成在审题,败在审题,弄清题意等于解决了问题的一半,考试中会而不对、对而不全,究其原因多在于未审清或审不清题意。审题特别要抓好审什么的三个要点、怎么审的四个步骤(对学生可只说前两要点前三步)

(2)“审题审什么的三个要点。

要点1:弄清题目的条件是什么,一共有几个,其数学含义如何。

首先,条件包括明显写出的和隐蔽地给予的,弄清条件就是要把它们都尽量找出来;

其次(更重要的),是弄清条件的数学含义,即看清楚条件所表达的到底是哪些数学概念、哪些数学关系。

有时,明显写出的条件是非实质的,还要清醒地排除。

题目的条件告诉我们从何处下手、预示可知并启发解题手段,弄清了条件就等于弄清了行动的起点、也准备好了行进中的加油站。

要点2弄清题目的结论是什么,一共有几个,其数学含义如何。

题目的结论有的是明显给出的,如求证题,关键是要弄清结论到底与哪些数学关系、哪些数学概念有关;

有的题目结论是要我们去寻找的,如求解题、探索题等,这时的弄清结论,就是要弄清求解”(探索)的性质或范围,它们与哪些数学关系、哪些数学概念有关,以明确推理或演算的方向。

题目的结论告诉我们向何方前进、预告需知并引导解题方向。弄清了结论就等于弄清了行动的目标、也随身带上了纠正偏差的指南针。

要点3:弄清题目的条件和结论有哪些数学联系,是一种什么样的结构。

在弄清条件的数学含义、结论的数学含义的基础上,继续弄清条件知识与结论知识之间存在哪些数学联系,这些联系就表现为题目的结构(题型)

为了更接近问题的深层结构,审题不仅开始于解题工作的第一步,而且贯穿于探求的过程与结果的反思。应该是循环往复、不断深化的过程。 

(3)“审题怎么审的四个步骤。

步骤1读题——弄清字面含义。

审题首先要逐字逐句读懂题目说了什么,按每分钟阅读300 ~ 400个印刷符号的速度计算,通常读完一道题用不了一分钟,但未必读懂了,因而,还应该从语法结构、逻辑关系上作出分析,真正弄清哪些是条件,哪些是结论,各有几个,这是读题最实质性的工作。

其次要从答题形式、数据要求上明确题目的技术性细节,比如在考试中,有的题目要求保留小数点几位等等,如果不按这些要求来,解答就会被认为不完整(存在扣分的危险),虽然有的同学并非不会做。

步骤2理解——弄清数学含义。

看懂题目的字面含义还不能算真正审清题意,它只是为实质性的数学理解扫清了语言障碍,关键是要能进行文字语言、符号语言、形象语言之间的转化,从题目的叙述中获取数学符号信息,从题目的图形中获取数学形象信息,弄清题目的数学含义。这当中,我们常常要回到定义、激活相关的数学知识,常常要辅以图形或记号,使条件和结论都数学化,并被我们所理解。比如:

题目的条件(或结论)说了正方形。但正方形能加吗?能减吗?好运算、便推理吗?应该把正方形的定义和相关性质度写出来。(可能有的有用,有的本题暂时用不上)

题目的条件(或结论)说了二次方程有实根,它的数学含义是什么?可以是等式,存在x0使ax02+bx0+c=0;也可以是不等式:判别式Δ0;还可以从知识链上展开,是:二次方程的求根公式、二次方程根与系数的关系、二次函数的零点式……

题目的条件(或结论)说了抛物线,抛物线能加吗?能减吗?能乘吗?能除吗?能运算吗?能推理吗?有困难!所以,立即想抛物线的定义,想抛物线的表达式(符号语言)和图形(形象语言),初中的表达式是y=ax2+bx+c(a0),图像是一条类似抛体运动路径的曲线。写出y=ax2+bx+c(a0)等于设出了5个字母和它们之间的等量关系,有助于运算或推理的展开(确定抛物线就是确定3个字母a,b,c,就是说明函数表达式为二次三项式)

步骤3表征(辨别)——识别题目类型。

信息在大脑的呈现叫做表征。弄清条件、弄清结论的同时,条件与结论之间的关系会在头脑呈现,这种呈现不仅会激活相关的数学知识,而且也会调动相关的解题经验。对于大量的常规题来说,条件与结论之间的关系结构是记忆储存所现成的——每人的头脑里都或多或少、或优或劣储存有基本模式与经典题型,题意弄清楚了,题型就得以识别,提取该题型的相应方法即可解决(叫做模式识别)。即使是新的陌生情景,我们也有了解决它的逻辑起点与推理目标,继而可以用差异分析数形结合等措施,进入下一阶段——思路探求。(见图6)

步骤4深化——接近深层结构。

简单题一旦弄清题意,题型就得以识别,思路随之打通,但有时认识是浅层的。对于变通过的、形似而质异的、或综合性较强的题目,则还要不停顿地弄清问题。因而,弄清题意的工作在识别题目类型之后还结束不了,主要表现在两个方面:

其一是在思路探求中,还有一个继续弄清题意的过程,否则会思路受挫、思维走偏;

其二是在思路业已打通、解法初步得出时,仍有一个回顾反思、再认识的过程,即更本质的弄清问题、努力接近问题的深层结构。 

经验表明,凡是题目未明显写出的,一定是隐蔽地给予的,只有细致地审题才能从题目本身获得尽可能多的信息,这一步不要怕

题目的条件和结论是怎样解这道题的两个信息源,审题的实质是从题目本身去获取从何处下手、向何方前进的信息与启示。

注意:这些要点,叙述时是分解动作,真正解题时是连续进行、一气呵成的。

请思考下面题目中条件是什么、结论是什么。

(例题略)

3-2  思路探求

(1)思路探求的基本含义。

思路探求就是寻找题目条件与题目结论之间的数学联系,它表现为沟通条件与结论的一系列演算或推理。寻找解题思路是探索解题结论的发现过程。中学教学(特别是考试中)的基本想法是,把待解决或未解决的问题,化归为一类已经解决或者比较容易解决的问题。

(2)思路探求探什么、怎么探

可以分两步走,如图,我们把探什么、怎么探设计为一个操作流程图。

 

第一步,努力在已知与未知之间找出直接的联系——化归为已经解决过的基本问题。对于大量的常规题来说,题意弄清楚了,题型就得以识别,记忆中关于这类题的解法就召之即来。(叫做模式识别,课本的重要定理及相关概念自动组成一个基本问题)

第二步,如果找不出直接的联系,就对原来的问题作出某些必要的变更或修改,运用解题策略:差异分析、以退求进、区分情况、正难则逆、以及自始至终的数形结合等。

(2)如果找不出直接的联系,就对原来的问题作出某些必要的变更或修改,运用解题策略:差异分析、以退求进、区分种种情况、层次解决、正难则逆、以及自始至终的数形结合等。

①差异分析:通过分析条件与结论之间的异同、并不断减少目标差来完成解题的思考方法叫做差异分析法。使用差异分析法有3个步骤:

寻找目标差。通过分析题目中所出现的元素和特征去寻找异同点;

作出减少目标差的反应。对目标差运用基础理论与基本方法作出减少目标差的某种反应;

积累目标差的减少。把减少目标差的调节积累起来、直至消除。

②以退求进:可以先考虑问题的特殊情况,或先考虑问题的一部分,看清楚、想明白了再进。退是手段、进是目的,难的不会想简单的是个好主意。在具体实践中,常常是进退互化。

③区分种种情况:或是分解为一个个小步骤(分步)、或是分解为一个个小类型(分类),各个击破、分别解决。在具体实践中,常常是分合并用。

④正难则逆:正面思考有困难时,可以调整思考的方向,转而从结论入手(分析法、逆推法),或反面思考问题(反证法)。在具体实践中,常常是正反相辅。

⑤数形结合:在探索的过程中,要始终不忘把数与形结合起来思考,既会把数式转变为图形,又会把图形转变为数式,注意发挥数与形的双重优势。

值得注意的是,这个框图恰好组成一个由简单到复杂的解题思考程序:

1步,如果能够辨别题目属于熟悉的类型,那我们就用该类型相应的方法来解决——模式识别;对于表面上不熟悉的题目可以分解或补充、转换化归为熟悉的类型。

2步,如果题目不属于熟悉的类型,那我们就差异分析并辅以数形结合等直接解决。

3步,如果遇到不熟悉的和费解的问题,模式识别和差异分析都不能奏效,那我们需要运用更多的策略——以退求进、区分情况、层次解决等。

4步,如果我们所有这些正面思考都不能奏效,那就正难则反,或者肯定结论找从充分条件(分析法),或否定结论找矛盾(反证法)

(3) 中考中的化归。

中考解题就是将课堂上获得的数学知识、数学方法和数学经验用于解决高中招生考试的新试题。这是一个从记忆模仿到探索发现的过程,关键在探索发现,核心是通过演算、推理、论证得出一个符合数学事实的结论。一个重要的建议是

化归为课堂上已经解决的问题(包括往年的中考题或其变形)

①因为课堂和课本是学生知识资源的基本来源,也是学生解题体验的主要引导。离开了课本,学生还能从哪里找到解题依据、解题方法、解题体验?还能从哪里找到解题灵感的撞针?中考解题一定要抓住课本这个根本。

②因为课本是中考命题的基本依据。有的试题直接取自教材,或为原题、或为类题;有的试题是课本概念、例题、习题的改编;有的试题是教材中的几个题目、几种方法的串联、并联、综合与开拓;少量难题也是按照课本内容设计的,在综合性、灵活性上提出较高要求。可以说,抓住了化归为课堂上已经解决的问题就抓住了多数考题。

化归为课堂上已经解决的问题的实质是化归为课堂上学过的内容与方法,以不变应万变。

(例题略)

3-3  书写表达

(1)书写表达的基本含义。

就是把打通了的解题思路(即自己看清楚、想明白的事情),用文字具体表达出来,说服自己、说服别人(包括同意或不同意你看法的人)。这当中可能会有某一步骤因忽视了关键细节而反复,也可能会因认真整理思想而深化理解或触发新的灵感。

(2)书写表达写什么、怎么写

应该看到,怎样表达对学生来说仍然是一个需要系统指导和严格训练的问题。事实上,数学语言的运用与表达是中学教学的一个薄弱环节,语言表述不规范,推理过程不完整,逻辑关系能意会不能言传等很普遍。我们对写什么、怎么写的建议是:

①平时抓“15字口诀“24字要领

写什么抓住15字口诀:定方法、找起点、分层次、选定理、用文字。总结出

计算题格式,

证明题格式,

应用题格式,……

●“怎么写24字要领:方法简单、起点明确、层次清楚、定理准确、论证严密、书写规范。

②临场抓书写要快分段得分。如速度意识,写得分点,缺步解答,跳步解答,退步解答,倒步解答,辅助解答等,进可全题解决,退可分段得分。

(例题略)

3-4  回顾反思

(1)回顾反思的基本含义。

反思就是从自身的认识活动中脱身出来,作为一个旁观者来看待自己刚才做了些什么事情,使自己的活动成为了思考的对象。有两个层面的回顾反思,一个是解题层面的回顾反思(已高度关注),另一个是学会解题层面的回顾反思(想知道很多又有很多不知道)

(2)回顾反思思什么

①解题层面的回顾反思:主要是复查检验,看计算是否准确、推理是否合理、思维是否周密、解法是否还有更多、更简单的。

有的检验是解题的必要步骤,检验之后,解题才算完成;

有的检验是避免过失的技术性措施,像足球守门员把住最后一关。

②学会解题层面的回顾反思:表现为解题后对数学题目本身及解题方法的重新认识。如(思什么)

解题中用到了哪些知识?用到了哪些方法?这些知识和方法是怎样联系起来的?

自己是怎么想到它们的?困难在哪里?关键是什么?遇到过什么障碍?后来是怎么解决的?

是否还有别的解决方法? 更一般的方法?更特殊的方法?沟通其他学科的方法?更简单的方法?同样的方法能用来处理更一般性的命题吗?

命题能够推广吗?条件能减弱吗?结论能加强吗?

这些知识和方法体现了什么样的数学思想?调动这些知识和方法体现了什么样的解题策略?

洞察问题的深层结构了吗?

题目有无科学性问题?解题逻辑性漏洞?

……

如此等等的思考不仅能改进和完善眼前的解题,而且能提炼出对未来解题有指导作用的信息,它的长期积累会升华为数学才华。这是更深层次的回顾反思,已经涉及学会解题了。

(3)回顾反思怎么思

通常要经历整体分解信息交合两个步骤。

①整体分解:就是把原解法的全过程分拆为一些信息单元,看用到了哪些知识、哪些方法,它们是怎样组合在一起的,从中概括出知识基础、逻辑结构、信息流程、心理过程等。

②信息交合:就是抓住整体分解中提炼出来的新认识或本质步骤,将信息单元转换或重组成新的信息块,这些新信息块的有序化,使认识更接近问题的深层结构。于是,一个新的解法就诞生了,所储存的数学知识之间的非人为的、实质性的联系就加强了,怎样学会解题的体验就生成了,提炼解题理论的基础也奠定了。

中考时的回顾主要是复查检验,保证计算准确、推理合理、思维周密、避免过失。

4个步骤需要不断的反馈调节,即使4步完成了也存在反思改进的空间:有时候思路还比较麻烦,通过反馈调节而精简;有时候思路还存在错误,通过反馈调节而纠正。

(例题略)

 建议

最后,作为发言的结束,对讲题提两条建议

方运加教授和我、还有一些代表都认为,随着会议的成功举办,关于讲题的理论思考应该提到议事日程上来,我们共同提议:

(1)讲题的含义可以推广。讲题是一种解题活动,而解题活动可以是不出声的笔解,也可以是说出声的讲解。本次活动的讲题仅限于讲中考压轴题,主题鲜明,也触及初中数学教学的兴奋中心,作为开头、先抓重点很有必要。但是,广大老师的解题活动远比中考压轴题宽广,也远比中考压轴题需要,所以,讲题的含义可以逐步拓展为所有数学题,不仅可以讲考试题,而且也可以讲课本题;不仅可以讲解答题,而且也可以讲选择题、填空题等等,让讲题活动遍地开花,与蓬勃发展的讲课比赛”“说课比赛”“解题比赛”“说题比赛并列,成为促进教研发展和教师提高的一种新形式。

(2)讲题的内容应该明确。为了发挥讲题的引领作用,提高讲题的学术水平,有几个认识问题需要明确,留给新青年们去研究:

明确讲题讲什么?讲题怎么讲?可否按照数学解题的基本过程提出讲题意、讲思路、讲解法、讲反思,以及讲解题感悟、讲命题背景、讲内容推广等等。(会场上已经出现意见分歧和做法分歧,两点距离公式、两直线夹角公式,托勒密定理、余弦定理等能不能用?有争议、解题研究无禁区,课堂教学有范围)

明确讲题的目标重在解题研究还是解题教学?前者偏重于教育数学,后者偏重于数学教育;也可以两者兼而有之。

明确讲题的对象重在教师还是学生?前者偏重于,后者偏重于;也可以两者兼而有之。(会场上有明显的分歧)

讲题的时间等技术细节。(一节课?半小时?快还是慢?)

几句口号

|x|0)等价于-a一个甘于自我封闭的人,他只能越过弱者,永远也超不过强者。

|x|>a(a>0)等价于x>a或x<-a:一个勇于突破封闭的人,既能超过强者,又能谦让弱者。

数学上负数比零更小,教学中自我封闭比未知更糟。

数学上实数和虚数都是真实的数,奋斗中成功与失败都是生命的歌。

(全文完,附例题的发言稿将在有关杂志上正式发表)

 
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